Question

已知函数f(x)=|x²-2ax-b|,x∈R，给出四个命题：①f(x)必是偶函数；②若f(0)=f(2),则f(x)的图象关于直线x=1对称；③若a²+b≤0，则f(x)在［a, +∞）上是增函数；④若a²+b≥0，f(x)的最小值为0.其中正确的命题是(    )

A.①②            B.③④              C.①③               D.②④

Answer 1

思路解析：这是一道综合考查函数的基本性质的考题，在判断函数的奇偶性和单调性时要根据题意灵活运用解题方法，如解答本题还可以用图象法等.在判断函数的对称性和最值时要注意充分性证明和必要性证明.

∵函数f(x)=|x²-2ax-b|的对称轴为x=a,位置不确定，

∴不能判定它的图象是否关于y轴对称.因此不能判定函数f(x)是偶函数，故①不正确.

∵f(0)=f(2),∴|b|=|4-4a-b|.

解得a=1或者b=2-2a.

∴对称轴x=a=1只是众多结论中的一个，不是所有.因此②不正确.

∵a²+b≤0，∴(-2a)²+4b≤0，

即Δ=(-2a)²+4b≤0.

∴x²-2ax-b≥0.

∴f(x)=|x²-2ax-b|=x²-2ax-b.而二次函数f(x)=x²-2ax-b的图象开口方向向上，对称轴为x=a,因此f(x)在［a,+∞）上是增函数.故③正确.

∵若a²+b≥0，

即Δ=(-2a)²+4b≥0，

∴方程f(x)=|x²-2ax-b|=0有实根.因此函数f(x)=|x²-2ax-b|的最小值是0.

故④正确.综上，选B.

答案：B