题目内容
已知函数f（x）=ax2+2x+c（a、c∈N*）满足f（1）=5且b＜f（2）＜11
（1）求a、c
（2）若对任意的实数x∈[2，4]，都有f（x）-2mx≥1，求实数m的范围．
（1）求a、c
（2）若对任意的实数x∈[2，4]，都有f（x）-2mx≥1，求实数m的范围．
分析：（1）由f（1）=5可得c=3-a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c；
（2）不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+
在[2，4]上恒成立．只需求出(x+
)min；
（2）不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
解答：解：（1）∵f（1）=a+2+c=5，∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-
＜a＜
，
又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x2+2x+2．
∵x∈[2，4]，
∴不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+
在[2，4]上恒成立．
易知(x+
)min=
，故只需2m-2≤
即可．
解得m≤
．
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
又∵a、c∈N*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x2+2x+2．
∵x∈[2，4]，
∴不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+
| 1 |
| x |
易知(x+
| 1 |
| x |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
解得m≤
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立，考查转化思想，属中档题．
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