Question

对函数f（x）=x+1作代换x=g（t），则不会改变函数f（x）的值域的代换是（　　）

• A、g（t）=log₃t
• B、g（t）=2^t
• C、g（t）=t²
• D、g(t)=

  1

  t

Answer 1

分析：由f（x）=x+1可知：函数f（x）的值域为R．
A．作代换x=log₃t，得到f（x）=h（t）=log₃t，+1（t＞0），利用log₃t∈R，即可得出h（t）的值域，即f（x）的值域．
B．作代换x=2^t＞0，可得f（x）=h（t）=2^t+1＞1，即可得出值域．
C．作代换x=t²≥0，可得f（x）=h（t）=t²+1≥1，即可得出值域．
D．作代换x=

1

t

（t≠0），可得f（x）=h（t）=

1

t

+1≠0，即可得出值域．

解答：解：由f（x）=x+1可知：函数f（x）的值域为R．
A．作代换x=log₃t，得到f（x）=h（t）=log₃t+1（t＞0），∵log3t∈R，∴h（t）∈R，即f（x）∈R．
B．作代换x=2^t＞0，可得f（x）=h（t）=2^t+1＞1，其值域不为R．
C．作代换x=t²≥0，可得f（x）=h（t）=t²+1≥1，其值域不为R．
D．作代换x=

1

t

（t≠0），可得f（x）=h（t）=

1

t

+1≠0，其值域不为R．
综上可知：只有A满足题意．
故选：A．

点评：本题考查了指数函数、对数函数、二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题．