Question

已知函数f（x）=2sin²x（

π

4

-x）-

3

（sin²x-cos²x）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若f（x）＜m+2，在x∈[0，

π

6

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦公式可将f（x）=2sin²（

π

4

-x）-

3

（sin²x-cos²x）转化为f（x）=1+2cos（2x+

π

6

），从而可求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）依题意，g（x）=2cos（2x+

π

6

）-1，只需只需满足m＞g（x）_max（x∈[0，

π

6

]）即可，利用余弦函数的单调性可求得g（x）_max，从而可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin²（

π

4

-x）-

3

（sin²x-cos²x）
=1-cos（

π

2

-2x）+

3

cos2x
=1+2cos（2x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈Z得，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．
（2）∵f（x）=1+2cos（2x+

π

6

），
∴由f（x）＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，
∴m＞2cos（2x+

π

6

）-1在x∈[0，

π

6

]上恒成立，
令g（x）=2cos（2x+

π

6

）-1，
只需满足m＞g（x）_max（x∈[0，

π

6

]）即可．
∵0≤x≤

π

6

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，
∵y=cosx在[

π

6

，

π

2

]上单调递减，
∴当2x+

π

6

=

π

6

，即x=0时，g（x）_max=g（0）=

3

-1．
∴m＞

3

-1．
∴m的取值范围为（

3

-1，+∞）．

点评：本题考查三角函数关系的恒等变换及应用，着重考查余弦函数的单调性与周期，考查函数恒成立问题，属于中档题．