Question

已知函数f（x）=3^-x，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，正项数列b_n的首项为c，且前n项和S_n满足Sn-

Sn

=Sn-1+

Sn-1

，(n≥2)
（1）求c，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{bn(1-

1

2

an)}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）由等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c求出数列{a_n}的公比和首项，得到数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

可得到数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{

Sn

}的通项公式，再由b_n=S_n-S_n-1可确定{b_n}的通项公式．
（2）首先写出数列{bn(1-

1

2

an)}的通项公式，然后利用错位相减的方法求数列前n项和．

解答：解：（1）∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

又数列{a_n}成等比数列，
a1=

a 2 2

a3

=-

2

3

，
∵a₁=

1

3

-c
∴-

2

3

=

1

3

-c，∴c=1
又公比q=

a2

a1

=

1

3

所以a_n=-

2

3

•(

1

3

)n-1，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(

Sn-Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知bn(1-

1

2

an)=（2n-1）+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ
设（2n-1）•（

1

3

）ⁿ前n项和为Q_n   设数列2n-1的前n项和为S_n
Q_n=

1

3

+3×（

1

3

）²+5×（

1

3

）³+…+（2n-3）•（

1

3

）^n-1+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ     ①

1

3

Q_n=（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+5×（

1

3

）⁴+…+（2n-3）•（

1

3

）ⁿ+（2n-1）•（

1

3

）ⁿ⁺¹  ②
①-②得：

2

3

QN=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)4++(

1

3

)n]-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-(2n+2)(

1

3

)n+1
∴Q_n=1-（n+1）（

1

3

）ⁿ
∴S_n=n²
∴T_n=S_n⁺Q_n=n²+1-（n+1）（

1

3

^）n

点评：本题主要考查数列递推式和数列求和的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列和等比数列的性质及其求和公式，此题还要熟练掌握错位相减法在数列求和中的应用，此题有一定的难度．