Question

（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．
（I）证明：；
（II）求的长，并求点到平面的距离．

Answer 1

（I）
（II） C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为

)证明：连结CD.
∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.
∴
∴CD为C₁D在平面ABC内的射影.
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点.
∴
∴
∵
∴
（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.
∵D、E分别为AB、BC的中点.
∵
又
∴
∵AF为MF在平面ABC内的射影，
∴
∴为二面角的平面角，.
在△MAF中, ,
∴
作，垂足为G.
∵
∴
∴
∴
在△GAF中,，AF=
∴，即A到平面MDE的距离为.
∵∴
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为，
解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.
∵D、E分别为AB、CB的中点，
∴
又∵
∴
∵
∴AF为MF在平面ABC内的射影，
∴
∴为二面角的平面角，.
在△MAF中, ,
∴
设C到平面MDE的距离为h.
∵,
∴


∴
∴,即C到平面MDE的距离相等,为