题目内容

设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有成立．
（1）求实数a和b的值；
（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；
（3）若两相异实数x1、x2∈（0，π），且满足f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）的值．

解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx= sin（ωx+φ）（ω＞0），
又f（x）≤f（ ）=4恒成立，
∴ =4，即a2+b2=16．…①
∵f（x）的最小正周期为π， ∴ω= =2，
即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．
又f（x）max=f（ ）=4， ∴asin +bcos =4，即a+ b=8．…②
由①、②解得a=2，b=2 ．
（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2 cos2x=4sin（2x+ ）．
∵0＜x＜π，
∴ ＜2x+ ＜ ，
列表如下：

∴函数f（x）的图象如图所示：

 
（3）∵f（x1）=f（x2），由（2）知，当0＜x1＜x2＜ 时，x1+x2=2× = ，
∴f（x1+x2）=f（ ）=4 =2 ；
当 ＜x1＜x2＜π时，x1+x2=2× = ，
∴f（x1+x2）=f（ ）=4sin =2 ；
综上，f（x1+x2）=2 ．

练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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