Question

已知函数f(x)=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2?)(A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

)，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求?；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）．

Answer 1

分析：（1）通过函数的最大值，求出A，利用图象相邻两对称轴间的距离为2，求出函数的周期，通过函数图象过点（1，2）．求?；
（2）利用（1）推出函数的解析式，通过函数的周期求出一个周期内的函数值，然后求f（1）+f（2）+…+f（2012）．

解答：解：（1）因为f(x)=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2?)，y=f（x）的最大值为2，A＞0，

A

2

+

A

2

=2，∴A=2
∵图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，

1

2

×

2π

2ω

=2，ω=

π

4

．
又函数过点（1，2）．∴cos（

π

2

+2?）=-1，

π

2

+2?=2kπ+π，k∈Z，∴?=kπ+

π

4

，k∈Z．∵0＜?＜

π

2

，所以?=

π

4

．
（2）∵?=

π

4

，∴f（x）=1-cos（

π

2

x+

π

2

）=1+sin

π

2

x．
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又易知y=f（x）的周期是4，2012=4×503，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的周期的应用，函数值的求法，考查计算能力．