Question

12．已知函数f（x）=x³+ax²+b满足f（1）=0，且在x=2时函数取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最大值g（t）的表达式．

Answer 1

分析 （1）通过f′（2）=0及f（1）=0，计算即得结论；
（2）通过对函数f（x）=x³-3x²+2求导，进而可判断单调区间；
（3）通过函数在[0，+∞）上的单调性，结合最值的概念，画出草图，计算即得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+b，
∴f′（x）=3x²+2ax，
∵函数f（x）在x=2时函数取得极值，
∴f′（2）=0，即12+4a=0，
∴a=-3，
又∵f（1）=1-3+b=0，
∴b=2，
综上a=-3、b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x³-3x²+2，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∵x＜0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递增；
∵0＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2）上单调递减；
∵x＞2时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）的单调递减区间为：（0，2），
单调递增区间为：（-∞，0）∪（2，+∞）；
（3）令f（x）=f（0），即x³-3x²+2=2，
解得：x=0或x=3，
∵函数f（x）在（0，2）上单调递减，
∴当t∈（0，2]时，g（t）=f（0）=2；
∵函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，且f（3）=f（0）=2，
∴当t∈（2，3]时，g（t）=f（3）=2；
当t∈（3，+∞）时，g（t）=f（t）=t³-3t²+2；
综上所述，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{0＜t≤3}\\{{t}^{3}-3{t}^{2}+2，}&{t＞3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查导数的简单应用、分段函数，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．