Question

在平面直角系中，已知曲线为参数，将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标，已知直线.
（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点P，使点到直线的距离最小，并求此最小值.

Answer 1

（1）参考解析；（2），

试题分析：（1）由曲线：（为参数），写出相应的直坐标方程，在转化为极坐标方程.由上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线.得到直角坐标方程，在转化为参数方程.
（2）将直线：，化为直角坐标方程．点在曲线上.用点P的参数方程的形式带入，点到直线的距离公式，通过求三角函数的最值即可得到结论.
（1）由已知得曲线的直角坐标方程是，所以曲线的极坐标方程是，
因为曲线的直角坐标方程是，所以根据已知的伸缩变换得曲线的直角坐标方程是，所以曲线的参数方程是（是参数）．    5分
（2）设.由已知得直线的直角坐标方程是，即.所以点P到直线的距离.当即时．.此时点P的坐标是.所以曲线上的一点到直线的距离最小，最小值是.