Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面，，，，分别为的中点，为侧棱上的动点

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若为线段的中点，求证：平面；

（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直。若能垂直，求的值；若不能垂直，请说明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线BC1与平面APM不能垂直，详见解析

【解析】

（Ⅰ）由等腰三角形三线合一得；由线面垂直性质可得；根据线面垂直的判定定理知平面；由面面垂直判定定理证得结论；（Ⅱ）取中点，可证得，；利用线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得平面平面；根据面面平行性质可证得结论；（Ⅲ）假设平面，由线面垂直性质可知，利用相似三角形得到，从而解得长度，可知满足垂直关系时，不在棱上，则假设错误，可得到结论.

（Ⅰ），为中点

平面， 平面

又平面

平面， 平面

又平面 平面平面

（Ⅱ）取中点，连接

分别为的中点 且

四边形为平行四边形

又平面，平面 平面

分别为的中点

又分别为的中点

又平面，平面 平面

平面， 平面平面

又平面 平面

（Ⅲ）假设平面，由平面得：

设，

当时， ∽

由已知得：，，

，解得： 假设错误

直线与平面不能垂直