Question

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.

（1）求证：AB1⊥面A1BD；

（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；

（3）求点C到平面A1BD的距离.

 

 

Answer 1

（1）证明过程见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）取中点，连结，取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出坐标，进而得出向量坐标，利用向量垂直时坐标关系可证明，，可得平面；（2）令平面的法向量为，则，可得一法向量，由（1）为平面的法向量,那么二面角的余弦值即为，；（3）可求，．为平面的法向量,所以C到平面A1BD的距离.

 

【解析】
（1）取中点，连结．为正三角形，,

在正三棱柱中，平面平面，

平面,

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，,

平面． 4分

（2）设平面的法向量为,

，,

，，

令得为平面的一个法向量,

由（1）知平面， 为平面的法向量,

，,

二面角的余弦值为． 9分

（3）由（2），为平面法向量，

,

点到平面的距离． 12分

考点：空间向量的应用，线面垂直的判定.