Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=na+n（n-1）b，（n=1，2，…），a、b是常数且b≠0．
（1）证明：以（a_n，

Sn

n

-1）为坐标的点P_n（n=1，2，…）都落在同一条直线上，并写出此直线的方程．
（2）设a=1，b=

1

2

，圆C是以（r，r）为圆心，r为半径的圆（r＞0），在（2）的条件下，求使得点P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵b≠0，对于n≥2，有

( Sn n -1)-( S1 1 -1)

an-a1

=

na+n(n-1)b a -a

a+2(n-1)b-a

=

(n-1)b

2(n-1)b

=

1

2

∴所有的点P_n（a_n，

Sn

n

-1）（n=1，2，…）都落在通过P₁（a，a-1）且以

1

2

为斜率的直线上．
  由点斜式，此直线方程为y-（a-1）=

1

2

（x-a），即x-2y+a-2=0
  （2）当a=1，b=

1

2

时，

Sn

n

-1=a+（n-1）b=

n-1

2

∴P_n的坐标为（n，

n-1

2

），使P₁（1，0）、P₂（2，

1

2

）、P₃（3，1）都落在圆C外的条件是
   ①②③

(r-1)2+r2＞r2 (r-2)2+(r- 1 2 )2＞r2 (r-3)2+(r-1)2＞r2

即

(r-1)2＞0 r2-5r+ 17 4 ＞0 r2-8r+10＞0

由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r＜

5

2

-

2

或r＞

5

2

+

2

由不等式③，得r＜4-

6

或r＞4+

6

再注意到r＞0，1＜

5

2

-

2

＜4-

6

，

5

2

+

2

＜4+

6

故使P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围是（0，1）∪（1，

5

2

-

2

）∪（4+

6

，+∞）．