Question

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2=0上，其中mn＞0，则

1

m

+ 

2

n

的最小值为

4

．

Answer 1

分析：由题意可得A（-2，-1），将A点的坐标代入mx+ny+2=0，利用基本不等式即可求得

1

m

+ 

2

n

的最小值．

解答：解：∵函数y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
∴x+3=1，x=-2，y=-1．即A（-2，-1）．
∵点A在mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即2m+n=2，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+ 

2

n

=

1

2

（

1

m

+

2

n

）（2m+n）=

1

2

[2+

n

m

+

4m

n

+2]≥

1

2

•（4+4）=4（当且仅当n=2m=1，即m

1

2

，n=1时取“=”）
故答案为：4．

点评：本题考查基本不等式的应用，关键在于求得定点A，属于基础题．