Question

已知数列{a_n} 是一个首项为a₁，公比q＞0 的等比数列，前n项和为S_n，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

Answer 1

分析：分q=1、0＜q＜1、q＞1三种情况，分别求出S_n和T_n ，再根据数列极限的运算法则求出

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

解答：解：当q=1 时，S_n=na₁，T_n=（2n-1）a₁，（2分）

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

na1

(2n-1)a1

=

lim

n→∞

n

(2n-1)

=

1

2

．（1分）
当q＞0，q≠1 时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Tn=

a1(1-q2n-1)

1-q

，（1分）
∵

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

 

1-qn

1-q2n-1

，
当 0＜q＜1时，

lim

n→∞

qⁿ=0，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1-0

1-0

=1．
当 q＞1时，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1-qn

1-q2n-1

=

lim

n→∞

1 q2n-1 -  1 qn-1

1 q2n-1 - 1

=

0-0

0-1

=0．（2分）
综上：

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1 2 ，  q=1 1 ，   1＞q＞0 0 ，  q＞1

．（1分）

点评：本题主要考查求数列极限的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．