Question

在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N^*）的收入函数为R（x）=3000x-20x²（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析：本题是二次函数模型   解题策略：构造二次函数模型，函数解析式求解是关键，然后利用配方法、数形结合法等方法求解二次函数最值，但要注意自变量的实际取值范围．

解答：解：由题意知，x∈[1，100]，且x∈N^*
P（x）=R（x）-C（x）
=3000x-20x²-（500x+4000）
=-20x²+2500x-4000，
MP（x）=P（x+1）-P（x）
=-20（x+1）²+2500（x+1）-4000-
[-20x²+2500x-4000]
=2480-40x，
（2）P(x)=-20(x-

125

2

)2+74125，当x=62或x=63时
P（x）的最大值为74120（元）
∵MP（x）=2480-40x是减函数，
∴当x=1时，MP（x）的最大值为2440（元）
∴P（x）与MP（x）没有相同的最大值

点评：本题考查了函数的实际应用，解决应用题需要实际问题变量的范围．