Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2b-c）•cosA-acosC=0．
（1）求角A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围
（3）若a=，S_△ABC=，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求得结论；
（2）利用三角形的内角和，结合辅助角公式化简函数，确定B的范围，即可求sinB+sinC的取值范围；
（3）利用三角形的面积公式，结合余弦定理，即可判断△ABC的形状．
解答：解：（1）∵（2b-c）cosA-acosC=0，
∴由正弦定理得，（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，…（2分）
即sinB（2cosA-1）=0．
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=．…（3分）
∵0＜A＜π，∴A=．…（4分）
（2）
∵，∴
∴，
∴…（8分）
（3）∵S_△ABC=bcsinA=，…（9分）   
∴bcsin=，∴bc=3．①…（10分）
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴b²+c²=6．②
由①②得b=c=，…（11分）
∴△ABC为等边三角形．…（12分）
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角形的面积公式，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．