Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2，BC=1，E为PD的中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求PA与平面ACE所成角的正弦值的大小；
（3）求二面角E-AC-D的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）要证CE∥平面PAB，只要证明CE平行于平面PAB内的一条直线即可，由E为PD的中点，可联想找PA的中点F，连结EF、BF后，证明BCEF是平行四边形即可证得答案；
（2）分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEC的一个法向量，利用向量

AP

与其法向量所成角的余弦值求解PA与平面ACE所成角的正弦值的大小；
（3）分别求出二面角E-AC-D的两个半平面所在平面的法向量，利用法向量夹角的大小求解二面角E-AC-D的余弦值的大小．

解答：（1）证明：如图，
取PA的中点F，连结FE、FB，则FE∥BC，且FE=

1

2

AD=BC，
∴BCEF是平行四边形，∴CE∥BF，而BF?平面PAB，∴CE∥平面PAB．
（2）解：分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由PA=AB=AD=2，BC=1，E为PD的中点，得
A（0，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，1，1），P（0，0，2）．
∴

AC

=(2，1，0)，

AE

=(0，1，1)，

AP

=(0，0，2)．
设平面EAC的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
由

m • AC =0 m • AE =0

，得

2x+y=0 y+z=0

，取x=1，得y=-2，z=2．
∴

m

=(1，-2，2)．
设PA与平面ACE所成角为α，
则sinα=|

m • AP

| m |•| AP |

|=|

2×2

3×2

|=

2

3

．
∴PA与平面ACE所成角的正弦值为arcsin

2

3

；
（3）解：平面DAC的一个法向量为

n

=(0，0，1)，
又平面EAC的一个法向量为

m

=(1，-2，2)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

1×3

=

2

3

．
∴二面角E-AC-D的余弦值为arccos

2

3

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，属中档题．