Question

已知函数f(x)=,设a、b∈R且a≠b,求证：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

Answer 1

证明:(分析法)

要证|f(a)-f(b)|＜|a-b|,

只要证|-|＜|a-b|,

只要证(-)²＜(a-b)²,

即证2+a²+b²-2＜a²+b²-2ab,

即证1+ab＜,                   ①

当ab≤-1时,①式显然成立;

当ab＞-1时,要证①式成立,只要证(1+ab)²＜(1+a²)(1+b²).

只要证2ab＜a²+b².                             ②

∵a≠b,

∴②式成立.

故原不等式成立.