Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）是否存在实数k，使得方程f（x）=0无实数解？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

分析：（1）当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0，下面分两种情况讨论：①当x²-1≥12，②当x²-1＜0，分别解出方程f（x）=0的解即可；
（2）当|x|≥1时，方程为2x²+kx-1=0，方程的判别式△＞0，若方程f（x）=0无实数解，则方程2x²+kx-1=0的两实根必须都在区间（-1，1）内，列出关于k的不等式，解出k取值范围；当|x|＜1时解的情形，综上所述，当k∈（-1，1）时，方程f（x）=0无实数解；
（3）不妨设0＜x₁＜x₂＜2，因为f(x)=

2x2+kx-1  |x＞1 kx+1|x|≤1

，所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，结合根的范围求出当-

7

2

＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，下面求

1

x1

+

1

x2

的取值范围，方法一：先得出则

1

x1

+

1

x2

关于k的函数，再利用函数的单调性求其范围；
方法二：因为x₁∈（0，1]，所以kx₁+1=0；①因为x₂∈（1，2），所以2x₂²+kx₂-1=0，②由①②消去k，得即

1

x1

+

1

x2

=2x2，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，根据x₂∈（1，2），得出

1

x1

+

1

x2

的范围．

解答：解：（1）当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0
分两种情况讨论：
①当x²-1≥12，即x≥

13

或x≤-

13

时，方程即为2x²+2x-1=0，
解得x=

-1± 3

2

，又因为0＜

-1+ 3

2

＜1，舍去，所以x=

-1- 3

2

．     …（2分）
②当x²-1＜0，即-1＜x＜1，方程化为1+2x=0，解得x=-

1

2

，…（3分）
由①②得，当k=2时，方程f（x）=0的解是x1=

-1- 3

2

，x2=-

1

2

．   …（4分）
（2）当|x|≥1时，方程为2x²+kx-1=0，方程的判别式△＞0，…（5分）
若方程f（x）=0无实数解，则方程2x²+kx-1=0的两实根必须都在区间（-1，1）内
所以

f(-1)=1-k＞0 f(1)=1+k＞0 -1＜- k 4 ＜1

，解得k∈（-1，1）．                            …（8分）
当|x|＜1时，方程为kx+1=0，当k=0时，方程无实数解，
当k≠0时，方程kx+1=0的解为x=-

1

k

，若方程f（x）=0无实数解，则|-

1

k

|≥1，即k∈[-1，1]．          …（10分）
综上所述，当k∈（-1，1）时，方程f（x）=0无实数解．                  …（11分）
（3）不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
因为f(x)=

2x2+kx-1  |x＞1 kx+1|x|≤1

所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，…（12分）
若x₁，x₂∈（1，2），则x1x2=-

1

2

＜0，故不符合题意，
因此x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．                                        …（13分）
由f（x₁）=0，得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=-

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1，
故当-

7

2

＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．                      …（15分）
方法一：
因为x₁∈（0，1]，所以x1=-

1

k

，而方程2x²+kx-1=0的两根是

-k± k2+8

4

，
因为x₂∈（1，2），所以x2=

-k+ k2+8

4

，
则

1

x1

+

1

x2

=-k+

4

k2+8 -k

=

1

2

(

k2+8

-k)，
而y=

k2+8

-k在(-

7

2

，-1)上是减函数，则

k2+8

-k＜

(- 7 2 )2+8

+

7

2

=8，
因此

1

x1

+

1

x2

＜4．                                                  …（18分）
方法二：
因为x₁∈（0，1]，所以kx₁+1=0；①
因为x₂∈（1，2），所以2x₂²+kx₂-1=0，②
由①②消去k，得
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，2x₁x₂²-x₁-x₂=0，
又因为x₂∈（1，2），所以

1

x1

+

1

x2

＜4．                                 …（18分）

点评：本小题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．