Question

12．在△ABC中，S_△ABC=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²），b=1，a=$\sqrt{2}$，则c=1．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosC，变形后得到a²+b²-c²=2abcosC，代入已知的关系式中，得到S=$\frac{1}{2}$abcosC，再利用三角形的面积公式表示出S，两者相等可得出sinC=cosC，利用同角三角函数间的基本关系变形得到tanC的值为1，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，利用余弦定理即可求c．

解答 解：由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a²+b²-c²=2abcosC，
又S=$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²），
∴S=$\frac{1}{2}$abcosC，又S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴sinC=cosC，即tanC=1，
又C为三角形的内角，
则C=$\frac{π}{4}$．
∵b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴c²=a²+b²-2abcosC=2+1-2×$1×\sqrt{2}×$cos$\frac{π}{4}$=1，解得c=1．
故答案为：1．

点评 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．