Question

【题目】设，函数.

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若，写出函数的单调区间（写出必要的过程，不必证明）；

（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在递增，递减，递增；（3）.

【解析】

（1）当时，化简函数的解析式，作出函数的图象，即可求解；

（2）求出函数的解析式，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；

（3）当时，运用函数的单调性，结合函数的最值，即可求解.

（1）由题意，当时，函数

作出函数的图象，如图所示，

可得函数在区间上为单调递增函数，

所以当，函数取得最大值，此时最大值为.

（2）由函数

①当时，，

因为，所以，所以函数在上单调递增；

②当时，，

因为，所以，

所以函数在递增，递减；

综上可得，函数在递增，递减，递增.

（3）由（2）知，当时，函数在，递增，递减，当且仅当时，关于的方程有三个不相等的实数解，

即，

令，则函数在上是增函数，故，

所以，

即实数的取值范围是.