Question

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若方程f（x）=0有三个不等的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9．　　　　　　
令f'（x）＞0，解得-1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，3）．
令f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3．
∴函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞），
∴f（x）_极小值=f（-1）=a-5，f（x）_极大值=f（3）=a+27；
（2）由（1）知若方程f（x）=0，有三个不等的实根，
则
解得-27＜a＜5．
所以a 的取值范围是（-27，5）
分析：（1）由f（x）=-x³+3x²+9x+a，求得f′（x）=-3x²+6x+9，通过对f'（x）＞0与f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的单调区间和极值；
（2）若方程f（x）=0，有三个不等的实根，则其极小值应小于0，极大值应大于0，解二者联立的不等式组即可．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，着重考查导数与单调性间的关系及应用，突出考查转化思想与方程思想的运用，属于中档题．