Question

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S_n，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列，结合等差数列及等比数列的性质可(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)，解方程求a₁，进而可求通项
（2）由（1）可求s_n，进而可求

1

sn

，然后利用裂项相消法求解数列的和即可证明

解答：解：（1）数列{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
∵a₁+1，a₃+1，a₇+1成成等比数列，
∴(a1+5)2=(a1+1)(a1+13)      …（3分）
解之得a₁=3，
所以a_n=2n+1…（6分）
（2）证明：由（1）得a_n=2n+1，s_n=n（n+2）
∴

1

sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，…（9分）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

…（13分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的简单应用，数列的裂项求和方法的应用在证明不等式中的应用．