题目内容

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数f（x）的不动点，若函数 $数学公式$ 有且仅有两个不动点0和2，且 $数学公式$ ．
（1）试求函数f（x）的表达式；
（2）已知各项不为0的数列{a_n}满足 $数学公式$ ，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

解：（1）设 $\text{[math]}$ =x?（1-b）x²+cx+a=0有两个不等实根0和2
?a=0且2b-c=2且b≠1
?f（x）= $\text{[math]}$ ．
由f（-2）＜- $\text{[math]}$ ?-1＜c＜3
?c=2，b=2?f（x）= $\text{[math]}$ （x≠1）．
（2）由已知 $\text{[math]}$ ，
可得2S_n=a_n-a_n²，
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，
两式相减得a_n=-a_n-1，或a_n-a_n-1=-1．
当n=1时，a₁=-1，
由a_n=-a_n-1?a₂=1不在定义域范围内应舍去，
故a_n-a_n-1=-1?a_n=-n．
分析：（1）利用函数f（x）=x的不动点，推出a，b，c的关系，通过 $\text{[math]}$ ，结合b，c∈N^*，求出b，c，得到函数的表达式；
（2）通过 $\text{[math]}$ ，推出2S_n=a_n-a_n²，通过S_n-S_n-1=a_n，求数列{a_n}的通项公式．
点评：本题是中档题，考查数列与函数的综合问题，数列通项公式的求法，函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．

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（b，c∈N^*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-

．
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