Question

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥面AEC．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求AC与平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连AC、BD交于G，连GF，因BC=EB，BF⊥面AEC，则F是EC中点，根据中位线可知GF∥AE，AE?面BFD，FG?面BFD，根据线面平行的判定定理可知AE∥面BFD；
（2）根据AD⊥面ABE，则BC⊥面ABE，从而BC⊥AE，因BF⊥面AEC，则AE⊥BF，从而AE⊥面BCE，根据线面所成角的定义可知∠ACE就是AC与平面BCE所成的角，在三角形ACE中求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）证明：连AC、BD交于G，连GF．
∵BC=EB，BF⊥面AEC，∴F是EC中点．∴GF∥AE
∵AE?面BFD，FG?面BFD．∴AE∥面BFD
（2）AD⊥面ABE，
∴BC⊥面ABE，
∴BC⊥AE
∵BF⊥面AEC，
∴AE⊥BF，
∴AE⊥面BCE，
∴∠ACE就是AC与平面BCE所成的角
∴sin∠ACE=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判断，以及直线与平面所成角等有关知识，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．