Question

【题目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ，

得f′（x）=a（1﹣ ）+

= = = （x＞0）．

若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1， ）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；

若a＞2，当x∈（0， ）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数

（2）

解：∵a=1，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ．

∵ex＞1+x，

∴x＞ln（1+x），

∴ex﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，

∴F（x）＞ = ．

令φ（x）= ，则φ′（x）= = （x∈[1，2]）．

∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则φ（x） ，

∴F（x）＞ 恒成立．

即f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
（2）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），求导后利用不等式x﹣1＞lnx放缩，得到F（x）＞ = ．令φ（x）= ，利用导数可得φ（x）在[1，2]上为减函数，得到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．
本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．