题目内容

已知椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．
由椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1可得a2=4，b2=3，∴c=
a2-b2
=1．
∴左焦点F（-1，0）．
由题意只考虑直线l的斜率存在且不为0即可，
设直线l的方程为my=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
my=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
化为（4+3m2）y2-6my-9=0，
∴y1+y2=
6m
4+3m2
，
∴yP=
y1+y2
2
=
3m
4+3m2
，
∴S△PFO=
1
2
|OF|•|yP|=
|3m|
2(4+3m2)
=
3
2(
4
|m|
+3|m|)
≤
3
2×2
12
=
3
8
，当且仅当|m|=
2
3
3
时取等号．
此时△PFO的最大值为
3
8
，直线l的方程为±
2
3
3
y=x+1．
练习册系列答案
相关题目
（本小题满分14分）已知椭圆，它的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的左焦点为，左准线为，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹的方程；⑶将曲线向右平移2个单位得到曲线,设曲线的准线为，焦点为，过作直线交曲线于两点，过点作平行于曲线的对称轴的直线，若，试证明三点（为坐标原点）在同一条直线上．
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，点P(－1,1)为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，点F为其右焦点．

过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线PQ与圆O相切．
在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-
3
，0），（
3
，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-
1
2
，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．
已知点（1，1）是椭圆
x2
4
+
y2
2
=1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：______．
如图，椭圆Q：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点．
（1）求点P的轨迹H的方程．
（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0＜q≤
π
2
），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
已知双曲线C：x2-y2=1，l：y=kx+1
（1）求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：x2+
y2
m
=1的焦点在y轴上，且离心率为
3
2
．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足
OA
+
OB
=λ
OP
（O为坐标原点），当|
PA
|-|
PB
|＜
3
时，求实数λ的取值范围．
（1）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围．

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