Question

已知函数f（x）=a•2^x-1+2^-x（a为常数，x∈R）为偶函数．
（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）解不等式：f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）．

Answer 1

（1）f（x）为偶函数，所以f（1）=f（-1），
即：a+

1

2

=

1

4

a+2，解得：a=2
证明：设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0
∵x₁，x₂∈[0，+∞），∴1-

1

2x1+x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上单调递增．
（2）f（x）为偶函数，a=2，
不等式f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）
变为f（|2log₂x-1|）＞f（|log₂x+1|），
由于f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上单调递增，
所以|2log₂x-1|＞|log₂x+1|，
两边平方，得：log₂²x-2log₂x＞0，
∴log₂x＜0，或log₂x＞2
∴0＜x＜1，或x＞4