Question

已知函数f(x)=sin2ωx+

3

sinωxcosωx（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）若对任意x1，x2∈[0，

π

2

]都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简f（x）的解析式为sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，根据函数图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，故

2π

2ω

=

π

2

，解得ω的值
（Ⅱ）根据角的范围求得f（x）最大值和最小值，得到|f（x₁）-f（x₂）|的最大值等于  2，故m＞2．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2ωx+

3

sinωxcosωx=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∵函数图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，故

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

，∵x1，x2∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤4x₁-

π

6

≤

11π

6

，
-

π

6

≤4x₂-

π

6

≤

11π

6

，∴当4x-

π

6

=

π

2

 时，f（x）最大为 1+

1

2

=

3

2

，
当4x-

π

6

=

3π

2

 时，f（x）最小为-1+

1

2

=-

1

2

，故|f（x₁）-f（x₂）|的最大值等于

3

2

-(-

1

2

)=2，
故m＞2，实数m的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，周期性，三角函数的最值，求出|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，是
解题的难点．