Question

已知数列{a_n}是首项、公比都为q（q＞0且q≠1）的等比数列，b_n=a_nlog₄a_n（n∈N^*）．
（1）当q=5时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）当q=

14

15

时，若b_n＜b_n+1，求n最小值．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}是首项、公比都为q的等比数列得到数列{a_n}的通项公式，把{a_n}的通项公式代入b_n=a_nlog₄a_n中得到数列{b_n}的通项公式，把q=5代入后列举出数列{b_n}的各项，提取log₄5后剩下的式子设为T_n①，乘以5得到②，②-①再利用等比数列的前n项和的公式化简可得T_n的通项公式，即可得到数列{b_n}的前n项和S_n的通项公式；
（2）把q=

14

15

代入到b_n=a_nlog₄a_n中得到数列{b_n}的通项公式，然后根据b_n+1-b_n＞0列出关于n的不等式，求出不等式的解集，即可找出满足题意的正整数n的值．

解答：解：（1）由题得a_n=qⁿ，∴b_n=a_n•log₄a_n=qⁿ•log₄qⁿ=n•5ⁿ•log₄5
∴S_n=（1×5+2×5²+…+n×5ⁿ）log₄5
设T_n=1×5+2×5²+…+n×5ⁿ①
5T_n=1×5²+2×5³+…（n-1）5ⁿ+n×5ⁿ⁺¹②
②-①：-4T_n=5+5²+5²+…+5ⁿ-n×5ⁿ⁺¹=

5(5n-1)

4

-n×5ⁿ⁺¹
T_n=

5

15

(4n×5n-5n+1)，
S_n=

5

16

(4n×5n-5n+1)log45；
（2）b_n=a_nlog₄a_n=n(

14

15

)nlog4

14

15

，
b_n+1-b_n=[（n+1）(

14

15

)n+1-n(

14

15

)n]log4

14

15

log4

14

15

=[(

14

15

)n(

14

15

-

n

15

)log4

14

15

]＞0，因为log4

14

15

＜0，(

14

15

)n＞0，
所以

14

15

-

n

15

＜0，解得n＞14，
即取n≥15时，b_n＜b_n+1．
所求的最小自然数是15．

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．