题目内容
（2012•临沂二模）某高中学校为了推进课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学和生物辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时为满座，否则成为不满座），统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：
根据表：
（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
| 生物 | 化学 | 物理 | 数学 | |||||||||
| 周一 |
|
|
|
| ||||||||
| 周三 |
|
|
|
| ||||||||
| 周五 |
|
|
|
|
（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
分析：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，利用对立事件和独立事件同时发生的概率计算公式能够求出数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，
则P（A）=（1-
）×（1-
）×（1-
）=
．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-
）×（1-
）2×（1-
）=
，
P（ξ=1）=
×(1-
)2×(1-
)+2×
×(1-
)×(1-
)×(1-
)+
×(1-
)×(1-
)2=
，
P（ξ=2）=(
)2×(1-
)×(1-
)+2×
×(1-
)×
×(1-
)+2×（1-
×(1-
)×
×(1-
)+
×
×(1-
)2=
，
P（ξ=3）=2×
×(1-
)×
×
+
×
×
×(1-
)×(1-
)=
，
P（ξ=4）=
×
×
×
=
．
∴随机变量ξ的分布列如下：
故Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=2．
则P（A）=（1-
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 18 |
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 18 |
P（ξ=1）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=2）=(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 18 |
P（ξ=3）=2×
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=4）=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 18 |
∴随机变量ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
| 1 |
| 18 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 18 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 18 |
点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．
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