Question

【题目】已知函数是奇函数， 是偶函数.

（1）求和的值；

（2）说明函数的单调性；若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， （2）见解析（3）.

【解析】试题分析：（1）由函数是奇函数， 是偶函数，可得，进而可得和的值；（2）由在单调递增，且为奇函数 ， 可得恒成立，等价于 恒成立，令，求其最值，可得答案；（3）存在，使不等式成立，而在单增，∴，∴，解不等式即可得结果.

试题解析：（1）由得， ，则，

经检验是奇函数，故.

由得，则，故，

经检验是偶函数，∴， .

（2）∵，且在单调递增，且为奇函数，

∴由恒成立，得，

∴恒成立，

即恒成立，

令在的最小值为

，所以.

（3），

则由已知得，存在，使不等式成立，而在单增，

∴，

∴

∴

又

又∵ ∴

∴.