Question

已知函数f(x)=,明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)＞.

Answer 1

证法一:∵f(n)=,欲证f(n)＞,

只要证2ⁿ-1＞2n,

于是证2^n-1+2^n-2+…+2+1＞2n.(巧用等比数列求和公式)

∵n≥3,故2^n-1+2^n-2+…+2+1

≥4(n-2)+3=2n+(2n-5)＞2n.

∴原不等式成立.

证法二:同上,只要证2ⁿ＞2n+1,

∵2ⁿ=(1+1)ⁿ=,

当n≥3时,2ⁿ＞

=1+n+,

∵［1+n+］-(2n+1)=≥0,

∴2ⁿ＞2n+1,

故f(n)＞.