题目内容

如图，点L，M，N分别为△ABC三边BC，CA，AB上的点，且 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，若 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ =0，求证：l=m=n．

证明：设 $\text{[math]}$ 为基底，
由已知得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ ②
$\text{[math]}$ ③
将①②③代入 $\text{[math]}$ ，得， $\text{[math]}$
∴l=m=n．
分析：选定好基底，利用向量共线的充要条件将 $\text{[math]}$ 用基底表示，再利用向量的运算法则将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 用基底表示，
代入已知等式，求出系数的关系．
点评：本题考查向量关共线的充要条件、利用平面向量基本定理将向量用基底线性表示．

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如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；
（1）画出直线l；
（2）设l∩A₁B₁=P，求PB₁的长；
（3）求D到l的距离．

如图所示，F是抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，点R（1，4）为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5．
（1）求抛物线方程；
（2）已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．求直线l的斜率的取值范围并证明|PM|=|PN|．

如图，点F是椭圆W：

=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为

，三角形ABF的面积为

，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N （M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；

(1)画出直线l；

(2)设l∩A₁B₁=P,求PB₁的长；

(3)求D到l的距离.

（本题12分）

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；

（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。