题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0)，F(x)=
，若f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求k的取值范围．
，若f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求k的取值范围．
解：(1)∵f(-1)=0，
∴a-b+1=0，
∴b=a+1，
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1，
∵f(x)≥0恒成立，
∴
，∴
，
∴a=1，从而b=2，
∴f(x)=x2+2x+1，
∴F(x)=
。
(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1，
∵g(x)在[-2，2]上是单调函数，
∴
≤-2或
≥2，
解得k≤-2或k≥6，
所以所求k的取值范围为k≤-2或k≥6。
∴a-b+1=0，
∴b=a+1，
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1，
∵f(x)≥0恒成立，
∴
，∴，∴a=1，从而b=2，
∴f(x)=x2+2x+1，
∴F(x)=
。(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1，
∵g(x)在[-2，2]上是单调函数，
∴
≤-2或≥2，解得k≤-2或k≥6，
所以所求k的取值范围为k≤-2或k≥6。
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