题目内容
实数列a1，a2，…an，…满足an+1=an（an+2）．问：（1）如果a1=2，求an；
（2）求a2009的取值构成的集合．
分析：（1）由an+1=an（an+2），通过配方可以构造{an+1}，从而可以求出an
（2）由（1）可得an+1的范围，从而求得a2009的范围．
（2）由（1）可得an+1的范围，从而求得a2009的范围．
解答：解：（1）由题意有an+1+1=（an+1）2，设bn=an+1，
则有bn+1=bn2，从而可得bn=
．
而b1=a1+1=3，因此bn=32n-1，
从而an=bn-1=32n-1-1．
（2）由（1）得：b2009=
，
于是，b2009≥0，即a2009≥-1．
所以a2009的取值集合为{x|x≥-1}．
则有bn+1=bn2，从而可得bn=
| b | 2n-1 1 |
而b1=a1+1=3，因此bn=32n-1，
从而an=bn-1=32n-1-1．
（2）由（1）得：b2009=
| b | 22008 1 |
于是，b2009≥0，即a2009≥-1．
所以a2009的取值集合为{x|x≥-1}．
点评：本题是个中档题，考查了配方法构造数列和求数列通项的方法，最后注意结的形式．
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