Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C是抛物线上的动点.若以点C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点.

Answer 1

同下

解析:

（1）根据题意，抛物线y²＝2px的准线方程为x＝－，且p＞0． …………2分

因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以该点到准线x＝－的距离也为5．所以p＝2．

故所求抛物线的标准方程为y²＝4x．        ……………………………………5分

（2）因为点C在抛物线上，故可设点C为(，t)．

所以点C到y轴的距离为．

因为圆C在y轴上截得的弦长为4，所以圆C的半径r＝＝．

……………………………………………8分

所以圆C的方程为(x－)²＋(y－t)²＝()²．

即x²＋y²－x－2ty＋t²－4＝0． …………………………………………………………10分

（方法一）因为圆C是动圆．

所以当t＝0时，圆C的方程为x²＋y²－4＝0，            ①

当t＝2时，圆C的方程为x²＋y²－2x－4y＝0．       ②

联立①②，得   解得或 ……………………14分

把(2，0)代入圆C方程，左边＝2²＋0²－×2－2t×0＋t²－4＝0＝右边，方程成立，所以圆C恒过定点(2，0)．

把(－，)代入圆C的方程得，左边＝t²－t不恒为0，即随着t的变化而变化．

故点(－，)可能不在圆C上．

所以圆C恒过定点(2，0)．       ………………………………………………………16分

（方法二）将方程x²＋y²－x－2ty＋t²－4＝0整理为

           (1－)t²－2yt＋(x²＋y²－4)＝0．   ①         ……………………14分

①式对任意实数t都成立的充要条件是   即

所以圆C恒过定点(2，0)．               …………………………………………16分