Question

（2013•房山区二模）抛物线C：y²=2px的焦点坐标为F(

1

2

，0)，则抛物线C的方程为

y²=2x

，若点P在抛物线C上运动，点Q在直线x+y+5=0上运动，则|PQ|的最小值等于

9 2

4

．

Answer 1

分析：由y²=2px的焦点坐标为F(

1

2

，0)，得

p

2

=

1

2

，从而求得p值，设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，直线x+y+5=0与切线距离即为|PQ|的最小值，联立切线方程与抛物线方程消掉x得y的二次方程，令△=0可求得m值，从而得切线方程，根据两点间距离公式即可求得答案．

解答：解：因为y²=2px的焦点坐标为F(

1

2

，0)，
所以p＞0，且

p

2

=

1

2

，解得p=1，
所以抛物线方程为y²=2x，
设与直线x+y+5=0平行的抛物线的切线方程为x+y+m=0，
由

x+y+m=0 y2=2x

得y²+2y+2m=0，
令△=0，即2²-4×2m=0，解得m=

1

2

，
则切线方程为x+y+

1

2

=0，
两平行线间的距离d=

|5- 1 2 |

2

=

9 2

4

，即为|PQ|的最小值．
故答案分别为：y²=2x，

9 2

4

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线的性质，考查转化思想，解决本题的关键把|PQ|的最小值转化为直线与抛物线切线间的距离求解．