Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）若直线平行于直线，且与曲线只有一个公共点，求直线的方程；

（2）若直线与曲线交于两点，，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，求得直线的方程，消去参数求得曲线的普通方程，结合直线与曲线的位置关系，结合，即可求解；

（2）联立方程组，结果根与系数的关系，求得，利用弦长公式，求得，再利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，即可求解.

（1）因为直线的极坐标方程为，

所以化为平面直角坐标系下的方程为，

因为曲线的参数方程为（为参数），所以化为普通方程为．

因为直线平行于直线，所以可设直线的方程为，

代入曲线的方程，可得，

因为直线与曲线只有一个公共点，

所以，解得，

所以直线的方程为．

（2）由（1）知直线的方程为，曲线的方程为，

联立方程组，整理得，所以，，

所以弦长，

点到直线的距离为，

所以的面积为．