题目内容

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x- $数学公式$ a，若存在x₀∈[-1， $数学公式$ ]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），则实数a的取值范围是________．

0＜ $\text{[math]}$
分析：存在x₀∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），转化为x∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0），使得f（x）_min＜g（x）_max，即可．
解答：由题意，存在x₀∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），转化为x∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0），使得f（x）_min＜g（x）_max，
x∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0）时，f（x）=x³，单调增，∴f（x）_min=-1
若0＜ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即0＜a $\text{[math]}$ 时，函数在区间[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0）上单调增，∴g（x）_max= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴-1＜- $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜a $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，g（x）_max= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴-1＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
∴0＜ $\text{[math]}$
故答案为：0＜ $\text{[math]}$
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是存在x₀∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0），使得f（x₀）＜g（x₀），转化为x∈[-1， $\text{[math]}$ ]（a＞0），使得f（x）_min＜g（x）_max．