Question

（2013•房山区一模）已知抛物线C：y²=2px的焦点坐标为F（1，0），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=-2相交于M，N两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

Answer 1

分析：（I）根据焦点的坐标，求得P即可；
（II）根据直线L与x轴是否垂直，分两种情况求解△ABO与△MNO的面积之比，验证即可．

解答：解：（Ⅰ）由焦点坐标为（1，0）可知

p

2

=1，p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
∴

S△ABO

S△MNO

=(

|OF|

2

)2=

1

4

．
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
设M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解  

y=k(x-1) y2=4x

整理得  k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x₁•x₂=1．∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 •AO•BO•sin∠AOB

1 2 •MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

x1

2

•

x2

2

=

1

4

．
综上    

S△ABO

S△MNO

=

1

4

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系及抛物线的标准方程．