Question

已知f（x）=

x+ 1 2 ，   0≤x≤ 1 2   2(1-x)，   1 2 ＜x≤1

，定义f_n（x）=

f(f(…f(x)…))

n个f

，n∈N^*．
（1）求f₂₀₀₄（

2

15

）；
（2）设B={x|f₁₅（x）=x，x∈[0，1]}，求证：B中至少含有9个元素．

Answer 1

分析：（1）根据题意得，分别计算函数的值得f_n（

2

15

）是以5为周期变化的，从而得到f₂₀₀₄（

2

15

）=f₄（

2

15

）=

14

15

．
（2）设A={

2

15

，

19

15

，

11

15

，

8

15

，

14

15

}，由（1）知，对于a∈A，有f₅（

2

15

）=a，故f₁₅（a）=a从而A⊆B，画出f（x）的图象，如图，由x=2（1-x），（

1

2

＜x≤1），得x=

2

3

，从而证证得C?B，从而得出{

2

15

，

19

30

，

11

15

，

8

15

，

14

15

，

2

3

，0，

1

2

，1}⊆B，即可证得结论．

解答：解：（1）根据题意得，
f₁（x）=

2

15

+

1

2

=

19

30

，
f₂（

2

15

）=f_n（

19

30

）=2（1-

19

30

）=

11

15

，
f₃（

2

15

）=f_n（

11

15

）=2（1-

11

15

）=

8

15

，
f₄（

2

15

）=f_n（

8

15

）=2（1-

8

15

）=

14

15

，
f₅（

2

15

）=f_n（

14

15

）=2（1-

14

15

）=

2

15

，
所以f_n（

2

15

）是以5为周期变化的，
从而f₂₀₀₄（

2

15

）=f₄（

2

15

）=

14

15

．

（2）设A={

2

15

，

19

30

，

11

15

，

8

15

，

14

15

}，
由（1）知，对于a∈A，有f₅（

2

15

）=a，故f₁₅（a）=a，
∴A⊆B，
画出f（x）的图象，如图，
由x=2（1-x），（

1

2

＜x≤1），得x=

2

3

，故f（

2

3

）=

2

3

，∴f₁₅（

2

3

）=

2

3

，
∴

2

3

∈B，设C={0，

1

2

，1}，
由f（0）=

1

2

，f（

1

2

）=1，f（1）=0知，
对于c∈C，有f₃（c）=c，∴f₅（c）=c，∴C⊆B，
综上所述，{

2

15

，

19

30

，

11

15

，

8

15

，

14

15

，

2

3

，0，

1

2

，1}⊆B，
故B中至少含有9个元素．

点评：本小题主要考查函数的周期性、分段函数的解析式求法及其图象的作法、集合之间的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．