Question

（2008•湖北模拟）已知函数f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象按向量

a

=(m，0)平移，使得平移之后的图象关于直线x=

π

2

对称，求m的最小正值．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式第一项的第二个因式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，去括号合并后，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递减区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）得出的函数解析式，根据平移的规律及

a

的坐标，找出平移后函数的解析式，根据平移后函数关于直线x=

π

2

对称，把x=

π

2

代入函数解析式，并令其值等于kπ+

π

2

，化简表示出m，可得出k=0时，m取得最小值，把k=0代入表示出的m即可求出m的最小值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+

3

cos2x-

3

sin2x+sincosx
=sin2x+

3

cos2x（3分）
=2sin（2x+

π

3

），（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z，得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7

12

π，k∈Z（6分）
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；（7分）
（2）由（1）得到函数y=2sin（2x+

π

3

），
此函数按向量

a

=(m，0)平移得到解析式为y=2sin（2x+

π

3

-2m），（8分）
∵y=2sin（2x+

π

3

-2m)的图象关于直线x=

π

2

关于直线x=

π

2

对称，
∴2•

π

2

+

π

3

-2m=kπ+

π

2

（k∈Z）
∴m=-

1

2

(k-1)π-

π

12

（k∈Z）（10分）
当k=0时，m的最小正值为

5

12

π．（12分）

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，以及平移的规律，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的图象与变换，以及正弦函数的对称性，其中利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键．