Question

抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点位分别求：
（1）抛物线的方程
（2）双曲线的方程．

Answer 1

解：（1）由题设知，抛物线以双曲线的下焦点为焦点，准线过双曲线的上焦点，∴p=2c．
设抛物线方程为x²=-4c•y，
∵抛物线过点，∴6=-4c•（-）．
∴c=1，故抛物线方程为x²=-4y．
（2）∵双曲线过点，
∴．
∵a²+b²=c²=1，∴．
∴a²= 或a²=9
∵a²+b²=c²=1
∴a²=9（舍）．
∴b²=，
故双曲线方程为
分析：（1）根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，利用抛物线过点，可求求出c、p的值，从而可得抛物线方程
（2）利用双曲线过点，结合双曲线的性质a²+b²=c²，即可求得双曲线方程．
点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，考查了学生的基本运算能力与运算技巧．熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键．