题目内容

已知方程 $数学公式$ 在x∈[0，nπ），（n∈N^）内所有根的和记为a_n
（1）写出a_n的表达式：（不要求严格的证明）
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）设b_n=（kn-5）π，若对任何n∈N^都有a_n≥b_n，求实数k的取值范围．

解：（1）解方程得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （1分）
∴当n=1时， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ （2分）
当n=2时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （3分）
依此类推： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （5分）
（2） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =
$\text{[math]}$ （9分）
（3）由a_n≥b_n得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵n∈N^*∴ $\text{[math]}$ （11分）
设 $\text{[math]}$
易证f（n）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ）上单调递增．（13分）
∵n∈N^* $\text{[math]}$
∴n=2，f（n）_min=4
∴k≤4（15分）
分析：（1）通过方程的解，利用n=1，2，求出a₁，a₂，类比写出a_n的表达式．（不要求严格的证明）
（2）利用拆项法直接通过公式法与等差数列求和，求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）设b_n=（kn-5）π，推出a_n≥b_n的表达式，利用分离变量，通过基本不等式判断函数的单调性，求出函数的最小值，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查数列通项公式的猜想，数列求和的基本方法，恒成立问题的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想，分析问题解决问题的能力．