Question

【题目】已知函数，且.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）在函数的图象上取定两点，，记直线的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）讨论或，不成立，，则，利用导数与函数单调性的关系可得的最小值，只需即可.

（Ⅱ）由题意可得，令，在区间上单调递增，求出，结合（Ⅰ）可得，，利用零点存在性定理即可证出.

解：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾；

若，，令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

故当时，取最小值.

于是对一切，恒成立，当且仅当.①

令，则.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故当时，取最大值.

因此，当且仅当即时，①式成立.

综上所述，.

（Ⅱ）由题意知，.

令，在区间上单调递增；

且，.

由（Ⅰ）得恒成立，

从而，，

又，，

所以，.

由零点存在性定理得，存在唯一，使，且.

综上所述，存在使成立，且.