Question

已知过点（0，1）的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N．求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹．

Answer 1

【答案】分析：设点M、N的坐标，然后设出直线l的方程，与曲线C联立方程组，求出k的取值范围，然后利用导数求出在点M、N处切线的斜率，从而求出切线方程，最后联立两切线方程，可求出交点轨迹．
解答：解：设点M、N的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），曲线C在点M、N处的切线分别为l₁、l₂，
其交点P的坐标为（x_p，y_p）．若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1．
由方程组，消去y，得，即（k-1）x²+x-1=0．
由题意知，该方程在（0，+∞）上有两个相异的实根x₁、x₂，故k≠1，且△=1+4（k-1）＞0…（1），…（2），…（3），
由此解得．对求导，得，
则，，于是直线l₁的方程为，
即，化简后得到直线l₁的方程为…（4）．
同理可求得直线l₂的方程为…（5）．
（4）-（5）得，
因为x₁≠x₂，故有…（6）．将（2）（3）两式代入（6）式得x_p=2．
（4）+（5）得…（7），
其中，，
代入（7）式得2y_p=（3-2k）x_p+2，而x_p=2，得y_p=4-2k．
又由得，即点P的轨迹为（2，2），（2，2.5）两点间的线段（不含端点）．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及轨迹问题，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于中档题．