Question

当θ取遍所有值时，直线x•cosθ+y•sinθ=4+

2

sin(θ+

π

4

)所围成的图形面积为

 

．

Answer 1

分析：根据题意可知，顶点（1，1）到直线的距离为4，所以当θ取遍所有值时，直线x•cosθ+y•sinθ=4+

2

sin(θ+

π

4

)所围成的图形为圆心坐标（1，1），半径为4的圆，所以求出面积即可．

解答：解：设点A（a，b），则点A得到直线x•cosθ+y•sinθ=4+

2

sin(θ+

π

4

)的距离为d
则d=

|(a-1)cosθ+(b-1)sinθ-4|

sin2θ+cos2θ

，当a=1，b=1时，d=4．根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径得：
这些直线所围成的图形为以（1，1）为圆心，4为半径的圆，所以面积为16π
故答案为16π

点评：考查学生会利用取特值法得到直线所围成的平面图形的形状，掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式求值的能力．