Question

【题目】已知抛物线的准线方程为，点为坐标原点，不过点的直线与抛物线交于不同的两点．

（1）如果直线过点，求证： ；

（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）过定点

【解析】分析：第一问首先根据抛物线的准线，求得抛物线的方程，根据直线过的顶点，结合抛物线的对称性，得到直线的斜率一定不等于零，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，之后应用向量的数量积坐标公式求得其为零，从而断定；第二问先设出直线的方程，然后与椭圆方程联立，利用数量积等于零，结合韦达定理得到其满足的关系，从而证得对应的直线过定点.

详解：（1）抛物线的准线方程为，

所以抛物线的方程为

因为直线过点，故可设直线的方程为，代入抛物线中

得，

设

则，

，

所以

所以

即

（2）设直线的方程为

代入到抛物线方程整理得

设

根据韦达定理，，

因为

即

解得， （舍去）

所以直线的方程为

所以不论为何值，直线恒过定点．